KESALAHAN PENGUKURAN
Pembulatan
Pada pengukuran ada 3 macam cara pembulatan, yaitu:
Pembulatan ke satuan ukuran terdekat.
Pembulatan ke banyaknya angka-angka desimal.
Pembulatan ke banyaknya angka-angka signifikan (angka-angka yang berarti). Semua angka adalah signifikan kecuali anngka nol yang digunakan untuk menyatakan tempat koma desimal.
Contoh
513,7 kg = 14 kg; dibulatkan ke kilogram terdekat.
101,12 m = 101,1 m; dibulatkan ke persepuluh meter terdekat.
15431 m2 = 15430 m2; dibulatkan ke puluhan meter persegi terdekat.
Contoh
8,47571 = 8,4757 dibulatkan sampai empat tempat desimal.
= 8,476 dibulatkan sampai tiga tempat desimal.
= 8,48 dibulatkan sampai dua tempat desimal.
= 8,5 dibulatkan sampai satu tempat desimal.
Contoh
31,0 mempunyai 3 angka signifikan.
30,5 mempunyai 3 angka signifikan.
0,30 mempunyai 2 angka signifikan.
0,3011 mempunyai 4 angka signifikan.
0,007 mempunyai 1 angka signifikan.
0,100 mempunyai 3 angka signifikan.
Membilang, Mengukur, dan Salah Mutlak
Mungkin Anda sering membilang dan mengukur. Hasil kegiatan membilang berbeda dengan hasil dari kegiatan mengukur. Adapun perbedaannya adalah: Hasil membilang merupakan bilangan yang pasti sedang hasil dari mengukur berupa bilangan pembulatan atau pendekatan.
Contoh kegiatan membilang (menghitung).
Banyaknya pensil dalam satu lusin.
Banyaknya kelereng dalam satu kantong.
Banyaknya murid kelas I Otomotif.
Banyaknya SMK Negeri di Indonesia.
Contoh hasil pengukuran adalah sebagai berikut :
Tinggi badan Kahfi adalah 155 cm.
Berat suatu paket adalah 234 gram.
Volume cairan dalam botol adalah 2 liter.
Salah Mutlak adalah setengah dari suatu pengukuran terkecil
Contoh :
Untuk massa sebesar 25,7 kg memiliki :
Satuan pengukuran terkecil = 0,1 kg
Salah mutlak = 1/2 x 0,1 = 0,05 kg
Batas atas massa = 25,7 + 0,05 = 25,75 kg
Batas bawah massa = 25,7 – 0,05 = 25,56 kg
Salah Relatif, Persentasi, dan Toleransi
Contoh :
Tentukan salah relative dan prosentase kesalahan dari hasil pengukuran 2,5 kg
Jawab :
Hasil pengukuran = 2,5 kg
Satuan pengukuran terkecil = 0,1 kg
Salah Mutlak = 1/2 x 0,1 = 0,05 kg
Salah relative = (0,05 "kg" )/2,5 = 0,02 kg
Persentase Kesalahan = 0,02 x 100% = 2 %
Berikanlah pengukuran terbesar dan terkecil yang dapat diterima serta tentukan pula toleransi dari ( 7 ± 0,3 ) kg
Jawab :
( 7 ± 0,3 ) kg = 7 + 0,3 = 7,3 kg pengukuran terbesar
= 7 - 0,3 = 6,7 kg pengukuran terkecil
Toleransi = 7,3 – 6,7 = 0,6
TES FORMATIF 1
Pilihlah jawaban yang paling tepat !
Diketahui hasil pengukuran adalah 234,567 m. Jika hasil pengukuran itu dibulatkan ke meter terdekat adalah …
Diketahui hasil pengukuran adalah 25,243 kg. Jika hasil pengukuran itu dibulatkan itu dibulatkan sampai dua tempat decimal adalah … kg.
Pecahan 3/8 jika diubah dalam bentuk decimal dan dibulatkan sampai dua angka signifikan adalah …
Berikut ini yang termasuk pengukuran adalah …
Banyak computer di ruang praktik.
Banyaknya siswa SMK yang lulus UN tahun 2006 di kabupaten Bantul.
Banyaknya gol yang dicetak pada pertandingan piala dunia tahun 2006.
Jumlah penduduk Bekasi tahun 2006.
Berat suatu paket adalah 450 gram.
Salah mutlak dari pengukuran 2,5 liter adalah …
Salah relative dari pengukuran 4 kg adalah…
Persentasi kesalahan dari pengukuran 10 meter adalah … %
Panjang pipa harus terletak pada jangkauan (200 ± 5 ) mm. berikut ini yang ditolak adalah …
Jangkauan dari pengukuran 2,5 mm dan 3,3 mm adalah …
Berat paket yang harus terletak dalam jangkauan (750 ± 15) gram. Berat paket berikut ini yang dapat diterima adalah …
KEGIATAN BELAJAR 2
OPERASI HASIL PENGUKURAN
Jumlah dan Pengurangan Pengukuran
Jika dua buah hasil dari suatu pengukuran dijumlahkan atau dikurangi maka akan berlaku :
Contoh :
Tentukan jumlah dan selisih pengukuran dari 3,2 m dan 1,6 m
Jawab :
Jumlah Pengukuran
Ukuran I terletak pada ( 3,2 ± 0,05 ) m
Ukuran maksimum I = 3,2 + 0,05 = 3,25 m
Ukuran minimum = 3,2 – 0,05 = 3,15 m
Ukuran Maksimum II ( 1,6 ± 0,05 ) m
Ukuran maksimum II = 1,6 + 0,05 = 1,65 m
Ukuran minimum II = 1,6 – 0,05 = 1,55 m
Jumlah maksimum = 3,25 + 1,65 = 4,90 m
Jumlah minimum = 3,15 + 1,55 = 4,70 m
Selisih maksimum = 3,25 – 1,55 = 1, m
Selisih minimum = 3,15 – 1,65 =
Perkalian Hasil – Hasil Pengukuran
Jika hasil dari dua pengukuran dikalikan maka akan berlaku :
Contoh :
Berapakah batas – batas luas daerah persegi panjang dengan panjang 4,1 m dan lebar 2,9 m.
Jawab :
Jangkauan I ( 4,1 ± 0,05 )m maksimum = 4,15 m
minimum = 4,05 m
Jangkauan II ( 2,9 ± 0,05 )m maksimum = 2,95 m
Minimum = 2,85 m
Luas maksimum = 4,15 x 2, 95 = 12,2425 m2
Luas minimum = 4,05 x 2,85 = 11,5425 m2
TES FORMATIF 2
Pilihlah jawaban yang paling tepat !
Jumlah maksimum dari pengukuran 5 liter dan 7 liter adalah … liter
Jumlah minimum dari pengukuran 2,3 kg dan 2,5 kg adalah … kg
Selisih maksimum dari pengukuran 9 m dan 7m adalah…
Selisih minimum dari peukuran 12,5 cm dan 17,2 cm adalah … cm.
Keliling maksimum dari sebuah segitiga dengan ukuran sisi-sisinya 6 cm, 8 cm, dan 10 cm adalah…
Panjang minimum kawat untuk membuat sebuah segilima beraturan dengan sisi 20 cm adalah …
Luas maksimum sebuah daerah persegi panjang dengan ukuran panjang 30 dm dan lebar 20 dm adalah … dm2.
Luas minimum sebuah kolam yang berbentuk persegi dengan sisi 50 meter adalah … m2.
Luas maksimum daerah segitiga siku – siku dengan sisi alas 10 cm dan tinggi 5 cm adalah … cm2.
Luas minimum daerah laying – laying dengan panjang diagonal – diagonalnya 50 cm dan 30 cm adalah … cm2.
Kerjakan Soal Berikut dengan Tepat dan Jelas !
Dari pernyataan-pernyataan di bawah ini, manakah yang memerlukan kegiatan membilang dan manakah yang memerlukan kegiatan mengukur?
Volume sebuah tabung.
Banyaknya pemain Persija.
Dari hasil pengukuran panjang tali diperoleh data 12,4 m. Tentukan:
Salah mutlak dari hasil pengukuran tersebut.
Salah relatif dari hasil pengukuran tersebut.
Persentase kesalahan dari hasil pengukuran tersebut.
Ukuran terbesar dari pengukuran tersebut.
Ukuran terkecil dari pengukuran tersebut.
oleransi kesalahan dari hasil pengukuran tersebut.
Diketahui bahwa dua hasil pengukuran berat suatu benda adalah 12,1 kg dan 10,2 kg. Tentukan:
Salah mutlak dari jumlah dan salah mutlak dari selisih hasil pengukuran tersebut.
Jumlah maksimum dan jumlah minimum dari dua pengukuran tersebut.
Selisih maksimum dan selisih minimum dari dua pengukuran tersebut.
Ukuran sebuah persegi panjang 4 meter kali 2 meter. Tentukan:
Luas maksimum dan minimum dari persegi panjang tersebut.
Sumber idespha.com
Rabu, 24 November 2010
Artikel matematika
Posted by diiaanzone in komputer
Matematika (dari bahasa Yunani: μαθηματικά - mathēmatiká) secara umum ditegaskan sebagai penelitian pola dari struktur, perubahan, dan ruang; tak lebih resmi, seorang mungkin mengatakan adalah penelitian bilangan dan angka’. Dalam pandangan formalis, matematika adalah pemeriksaan aksioma yang menegaskan struktur abstrak menggunakan logika simbolik dan notasi matematika; pandangan lain tergambar dalam filosofi matematika.
Struktur spesifik yang diselidiki oleh matematikus sering mempunyai berasal dari ilmu pengetahuan alam, sangat umum di fisika, tetapi mathematikus juga menegaskan dan menyelidiki struktur untuk sebab hanya dalam saja sampai ilmu pasti, karena struktur mungkin menyediakan, untuk kejadian, generalisasi pemersatu bagi beberapa sub-bidang, atau alat membantu untuk perhitungan biasa. Akhirnya, banyak matematikus belajar bidang dilakukan mereka untuk sebab yang hanya estetis saja, melihat ilmu pasti sebagai bentuk seni daripada sebagai ilmu praktis atau terapan.
Sejarah matematika
Cakupan pengkajian yang disebut sebagai sejarah matematika adalah terutama berupa penyelidikan terhadap asal muasal temuan baru di dalam matematika, di dalam ruang lingkup yang lebih sempit berupa penyelidikan terhadap metode dan notasi matematika baku di masa silam.
Sebelum zaman modern dan pengetahuan yang tersebar global, contoh-contoh tertulis dari pembangunan matematika yang baru telah mencapai kemilaunya hanya di beberapa tempat. Tulisan matematika terkuno yang pernah ditemukan adalah Plimpton 322 (Matematika Babilonia yang berangka tahun 1900 SM), Lembaran Matematika Moskow (Matematika Mesir yang berangka tahun 1850 SM), Lembaran Matematika Rhind (Matematika Mesir yang berangka tahun 1650 SM), dan Shulba Sutra (Matematika India yang berangka tahun 800 SM).
Semua tulisan yang bersangkutan memusatkan perhatian kepada apa yang biasa dikenal sebagai Teorema Pythagoras, yang kelihatannya sebagai hasil pembangunan matematika yang paling kuno dan tersebar luas setelah aritmetika dasar dan geometri.
Apakah matematika?
Pengertian matematika sangat sulit didefinsikan secara akurat. Pada umumnya orang awam hanya akrab dengan satu cabang matematika elementer yang disebut aritmetika atau ilmu hitung yang secara informal dapat didefinisikan sebagai ilmu tentang berbagai bilangan yang bisa langsung diperoleh dari bilangan-bilangan bulat 0, 1, -1, 2, - 2, …, dst, melalui beberapa operasi dasar: tambah, kurang, kali dan bagi.
Matematika sebagai Raja dan sekaligus Pelayan
Ada pendapat terkenal yang memandang matematika sebagai pelayan dan sekaligus raja dari ilmu-ilmu lain. Sebagai pelayan, matematika adalah ilmu dasar yang mendasari dan melayani berbagai ilmu pengetahuan lain. Sejak masa sebelum masehi, misalnya jaman Mesir kuno, cabang tertua dan termudah dari matematika (aritmetika) sudah digunakan untuk membuat piramida, digunakan untuk menentukan waktu turun hujan, dsb.
Sebagai raja, perkembangan matematika tak tergantung pada ilmu-ilmu lain. Banyak cabang matematika yang dulu biasa disebut matematika murni, dikembangkan oleh beberapa matematikawan yang mencintai dan belajar matematika hanya sebagai hoby tanpa memperdulikan fungsi dan manfaatnya untuk ilmu-ilmu lain. Dengan perkembangan teknologi, banyak cabang-cabang matematika murni yang ternyata kemudian hari bisa diterapkan dalam berbagai ilmu pengetahuan dan teknologi mutakhir.
Apakah matematika ilmu yang ’sulit’?
Secara umum, semakin kompleks suatu fenomena, semakin kompleks pula alat (dalam hal ini jenis matematika) yang melalui berbagai perumusan (model matematikanya) diharapkan mampu untuk mendapatkan atau sekedar mendekati solusi eksak seakurat-akuratnya.
Jadi tingkat kesulitan suatu jenis atau cabang matematika bukan disebabkan oleh jenis atau cabang matematika itu sendiri, tetapi disebabkan oleh sulit dan kompleksnya fenomena yang solusinya diusahakan dicari atau didekati oleh perumusan (model matematikanya) dengan menggunakan jenis atau cabang matematika tersebut.
Sebaliknya berbagai fenomena fisik yg mudah di amati, misalnya jumlah penduduk di seluruh Indonesia, tak memerlukan jenis atau cabang matematika yang canggih. Kemampuan aritmetika sudah cukup untuk mencari solusi (jumlah penduduk) dengan keakuratan yang cukup tinggi.
Matematika sebagai bahasa
Di manakah letak semua konsep-konsep matematika, misalnya letak bilangan 1? Banyak para pakar matematika, misalnya para pakar Teori Model (lihat model matematika) yg juga mendalami filosofi di balik konsep-konsep matematika bersepakat bahwa semua konsep-konsep matematika secara universal terdapat di dalam pikiran setiap manusia.
Jadi yang dipelajari dalam matematika adalah berbagai simbol dan ekspresi untuk mengkomunikasikannya. Misalnya orang Jawa secara lisan memberi simbol bilangan 3 dengan mengatakan “Telu”, sedangkan dalam bahasa Indonesia, bilangan tersebut disimbolkan melalui ucapan “Tiga”. Inilah sebabnya, banyak pakar mengkelompokkan matematika dalam kelompok bahasa, atau lebih umum lagi dalam kelompok (alat) komunikasi, bukan sains.
Dalam pandangan formalis, matematika adalah penelaahan struktur abstrak yang didefinisikan secara aksioma dengan menggunakan logika simbolik dan notasi matematika; ada pula pandangan lain, misalnya yang dibahas dalam filosofi matematika.
Struktur spesifik yang diselidiki oleh matematikawan sering kali berasal dari ilmu pengetahuan alam, dan sangat umum di fisika, tetapi matematikawan juga mendefinisikan dan menyelidiki struktur internal dalam matematika itu sendiri, misalnya, untuk menggeneralisasikan teori bagi beberapa sub-bidang, atau alat membantu untuk perhitungan biasa. Akhirnya, banyak matematikawan belajar bidang yang dilakukan mereka untuk sebab estetis saja, melihat ilmu pasti sebagai bentuk seni daripada sebagai ilmu praktis atau terapan.
Matematika tingkat lanjut digunakan sebagai alat untuk mempelajari berbagai fenomena fisik yg kompleks, khususnya berbagai fenomena alam yang teramati, agar pola struktur, perubahan, ruang dan sifat-sifat fenomena bisa didekati atau dinyatakan dalam sebuah bentuk perumusan yg sistematis dan penuh dengan berbagai konvensi, simbol dan notasi. Hasil perumusan yang menggambarkan prilaku atau proses fenomena fisik tersebut biasa disebut model matematika dari fenomena.
Ikhtisar
Kata “matematika” berasal dari kata μάθημα(máthema) dalam bahasa Yunani yang diartikan sebagai “sains, ilmu pengetahuan, atau belajar” juga μαθηματικός (mathematikós) yang diartikan sebagai “suka belajar”.
Disiplin utama dalam matematika didasarkan pada kebutuhan perhitungan dalam perdagangan, pengukuran tanah dan memprediksi peristiwa dalam astronomi. Ketiga kebutuhan ini secara umum berkaitan dengan ketiga pembagian umum bidang matematika: studi tentang struktur, ruang dan perubahan.
Pelajaran tentang struktur dimulai dengan bilangan, pertama dan yang sangat umum adalah bilangan natural dan bilangan bulat dan operasi arimetikanya, yang semuanya itu dijabarkan dalam aljabar dasar. Sifat bilangan bulat yang lebih mendalam dipelajari dalam teori bilangan.
Investigasi metode-metode untuk memecahkan persamaan matematika dipelajari dalam aljabar abstrak, yang antara lain, mempelajari tentang ring dan field, struktur yang menggeneralisasi sifat-sifat yang umumnya dimiliki bilangan. Konsep vektor, digeneralisasi menjadi vektor ruang dipelajari dalam aljabar linier, yang termasuk dalam dua cabang: struktur dan ruang.
Ilmu tentang ruang berawal dari geometri, yaitu geometri Euclid dan trigonometri dari ruang tiga dimensi (yang juga dapat diterapkan ke dimensi lainnya), kemudian belakangan juga digeneralisasi ke geometri Non-euclid yang memainkan peran sentral dalam teori relativitas umum. Beberapa permasalahan rumit tentang konstruksi kompas dan penggaris akhirnya diselesaikan dalam teori Galois.
Bidang ilmu modern tentang geometri diferensial dan geometri aljabar menggeneralisasikan geometri ke beberapa arah:: geometri diferensial menekankan pada konsep fungsi, buntelan, derivatif, smoothness dan arah, sementara dalam geometri aljabar, objek-objek geometris digambarkan dalam bentuk sekumpulan persamaan polinomial. Teori grup mempelajari konsep simetri secara abstrak dan menyediakan kaitan antara studi ruang dan struktur. Topologi menghubungkan studi ruang dengan studi perubahan dengan berfokus pada konsep kontinuitas.
Mengerti dan mendeskripsikan perubahan pada kuantitas yang dapat dihitung adalah suatu yang biasa dalam ilmu pengetahuan alam, dan kalkulus dibangun sebagai alat untuk tujauan tersebut. Konsep utama yang digunakan untuk menjelaskan perubahan variabel adalah fungsi. Banyak permasalahan yang berujung secara alamiah kepada hubungan antara kuantitas dan laju perubahannya, dan metoda untuk memecahkan masalah ini adalah topik dari persamaan differensial.
Untuk merepresentasikan kuantitas yang kontinu digunakanlah bilangan riil, dan studi mendetail dari sifat-sifatnya dan sifat fungsi nilai riil dikenal sebagai analisis riil. Untuk beberapa alasan, amat tepat untuk menyamaratakan bilangan kompleks yang dipelajari dalam analisis kompleks. Analisis fungsional memfokuskan perhatian pada (secara khas dimensi tak terbatas) ruang fungsi, meletakkan dasar untuk mekanika kuantum di antara banyak hal lainnya.
Banyak fenomena di alam bisa dideskripsikan dengan sistem dinamis dan teori chaos menghadapi fakta yang banyak dari sistem-sistem itu belum memperlihatkan jalan ketentuan yang tak dapat diperkirakan.
Agar menjelaskan dan menyelidiki dasar matematika, bidang teori pasti, logika matematika dan teori model dikembangkan..
Saat pertama kali komputer disusun, beberapa konsep teori yang penting dibentuk oleh matematikawan, menimbulkan bidang teori komputabilitas, teori kompleksitas komputasional, teori informasi dan teori informasi algoritma. Kini banyak pertanyaan-pertanyaan itu diselidiki dalam ilmu komputer teoritis. Matematika diskret ialah nama umum untuk bidang-bidang penggunaan matematika dalam ilmu komputer.
Bidang-bidang penting dalam matematika terapan ialah statistik, yang menggunakan teori probabilitas sebagai alat dan memberikan deskripsi itu, analisis dan perkiraan fenomena dan digunakan dalam seluruh ilmu. Analisis bilangan menyelidiki teori yang secara tepat guna memecahkan bermacam masalah matematika secara bilangan pada komputer dan mengambil kekeliruan menyeluruh ke dalam laporan.
Ilmu Matematika diantaranya meliputi aritmatika, geometri, aljabar dll sehingga kalau mau sok idealis tentu saja banyak manfaat Matematika untuk ilmu pengetahuan lain dan juga untuk kehidupan, misalnya:
1. Kombinasi (Statistika) bisa digunakan untuk mengetahui banyaknya formasi tim bola voli yang bisa dibentuk.
2. Aritmatika hampir digunakan setiap hari, yaitu untuk hitung-menghitung.
3. Geometri bisa digunakan para ahli sipil karena geometri salah satunya adalah membahas tentang bangun dan keruangan.
4. Aljabar bisa digunakan untuk memecahkan masalah bagaimana memperoleh laba sebanyak mungkin dengan biaya sesedikit mungkin.
5. Mungkin dengan logika Matematika juga bisa membantu untuk berpikir logis, tapi tentu saja bukan hanya Matematika saja yang bisa membantu dalam berpikir logis.
Senin, 22 November 2010
RUMUS_RUMUS TRIGONOMETRI
PENJUMLAHAN DUA SUDUT (a + b)
sin(a + b) = sin a cos b + cos a sin b
cos(a + b) = cos a cos b - sin a sin b
tg(a + b ) = tg a + tg b
1 - tg2a
SELISIH DUA SUDUT (a - b)
sin(a - b) = sin a cos b - cos a sin b
cos(a - b) = cos a cos b + sin a sin b
tg(a - b ) = tg a - tg b
1 + tg2a
SUDUT RANGKAP
sin 2a = 2 sin a cos a
cos 2a = cos2a - sin2 a
= 2 cos2a - 1
= 1 - 2 sin2a
tg 2a = 2 tg 2a
1 - tg2a
sin a cos a = ½ sin 2a
cos2a = ½(1 + cos 2a)
sin2a = ½ (1 - cos 2a)
Secara umum :
sin na = 2 sin ½na cos ½na
cos na = cos2 ½na - 1
= 2 cos2 ½na - 1
= 1 - 2 sin2 ½na
tg na = 2 tg ½na
1 - tg2 ½na
JUMLAH SELISIH DUA FUNGSI YANG SENAMA
BENTUK PENJUMLAHAN ® PERKALIAN
sin a + sin b = 2 sin a + b cos a - b
2 2
sin a - sin b = 2 cos a + b sin a - b
2 2
cos a + cos b = 2 cos a + b cos a - b
2 2
cos a + cos b = - 2 sin a + b sin a - b
2 2
BENTUK PERKALIAN ® PENJUMLAHAN
2 sin a cos b = sin (a + b) + sin (a - b)
2 cos a sin b = sin (a + b) - sin (a - b)
2 cos a cos b = cos (a + b) + cos (a - b)
- 2 sin a cos b = cos (a + b) - sin (a - b)
PENJUMLAHAN FUNGSI YANG BERBEDA
Bentuk a cos x + b sin x
Merubah bentuk a cos x + b sin x ke dalam bentuk K cos (x - a)
a cos x + b sin x = K cos (x-a) dengan :
K = Öa2 + b2 dan tg a = b/a Þ a = ... ?
Kuadran dari a ditentukan oleh kombinasi tanda a dan b sebagai berikut
PERSAMAAN
I. sin x = sin a Þ x1 = a + n.360°
x2 = (180° - a) + n.360°
cos x = cos a Þ x = ± a + n.360°
tg x = tg a Þ x = a + n.180° (n = bilangan bulat)
II. a cos x + b sin x = c
a cos x + b sin x = C
K cos (x-a) = C
cos (x-a) = C/K
syarat persamaan ini dapat diselesaikan
-1 £ C/K £ 1 atau K² ³ C² (bila K dalam bentuk akar)
misalkan C/K = cos b
cos (x - a) = cos b
(x - a) = ± b + n.360° ® x = (a ± b) + n.360°
Sumber; kambing.ui.ac.id
sin(a + b) = sin a cos b + cos a sin b
cos(a + b) = cos a cos b - sin a sin b
tg(a + b ) = tg a + tg b
1 - tg2a
SELISIH DUA SUDUT (a - b)
sin(a - b) = sin a cos b - cos a sin b
cos(a - b) = cos a cos b + sin a sin b
tg(a - b ) = tg a - tg b
1 + tg2a
SUDUT RANGKAP
sin 2a = 2 sin a cos a
cos 2a = cos2a - sin2 a
= 2 cos2a - 1 = 1 - 2 sin2atg 2a = 2 tg 2a
1 - tg2a
sin a cos a = ½ sin 2a
cos2a = ½(1 + cos 2a)
sin2a = ½ (1 - cos 2a)
Secara umum :
sin na = 2 sin ½na cos ½na
cos na = cos2 ½na - 1
= 2 cos2 ½na - 1= 1 - 2 sin2 ½natg na = 2 tg ½na
1 - tg2 ½na
JUMLAH SELISIH DUA FUNGSI YANG SENAMA
BENTUK PENJUMLAHAN ® PERKALIAN
sin a + sin b = 2 sin a + b cos a - b
2 2
sin a - sin b = 2 cos a + b sin a - b
2 2
cos a + cos b = 2 cos a + b cos a - b
2 2
cos a + cos b = - 2 sin a + b sin a - b
2 2
BENTUK PERKALIAN ® PENJUMLAHAN
2 sin a cos b = sin (a + b) + sin (a - b)
2 cos a sin b = sin (a + b) - sin (a - b)
2 cos a cos b = cos (a + b) + cos (a - b)
- 2 sin a cos b = cos (a + b) - sin (a - b)
PENJUMLAHAN FUNGSI YANG BERBEDA
Bentuk a cos x + b sin x
Merubah bentuk a cos x + b sin x ke dalam bentuk K cos (x - a)
a cos x + b sin x = K cos (x-a)
K = Öa2 + b2 dan tg a = b/a Þ a = ... ?
Kuadran dari a ditentukan oleh kombinasi tanda a dan b sebagai berikut
| I | II | III | IV | |
| a | + | - | - | + |
| b | + | + | - | - |
keterangan :
a = koefisien cos x
b = koefisien sin x
a = koefisien cos x
b = koefisien sin x
PERSAMAAN
I. sin x = sin a Þ x1 = a + n.360°
x2 = (180° - a) + n.360°
cos x = cos a Þ x = ± a + n.360°
tg x = tg a Þ x = a + n.180° (n = bilangan bulat)
a cos x + b sin x = C
K cos (x-a) = C
cos (x-a) = C/K
syarat persamaan ini dapat diselesaikan
-1 £ C/K £ 1 atau K² ³ C² (bila K dalam bentuk akar)
misalkan C/K = cos b
cos (x - a) = cos b
(x - a) = ± b + n.360° ® x = (a ± b) + n.360°
Sumber; kambing.ui.ac.id
TEORI PELUANG
Pengertian Ruang Sampel dan Titik Sampel
Definisi ruang sampel :
Ruang sampel adalah himpunan dari semua hasil yang mungkin pada suatu percobaan/kejadian.
Ruang sampel suatu percobaan dapat dinyatakan dalam bentuk diagram pohon atau tabel.
Definisi titik sampel :
Titik sampel adalah anggota-anggota dari ruang sampel atau kemungkinan-kemungkinan yang muncul.
Contoh :
Definisi ruang sampel :
Ruang sampel adalah himpunan dari semua hasil yang mungkin pada suatu percobaan/kejadian.
Ruang sampel suatu percobaan dapat dinyatakan dalam bentuk diagram pohon atau tabel.
Definisi titik sampel :
Titik sampel adalah anggota-anggota dari ruang sampel atau kemungkinan-kemungkinan yang muncul.
Contoh :
| 1. | Pada percobaan melempar dua buah mata uang logam (koin) homogen yang bersisi angka (A) dan gambar (G) sebanyak satu kali. Tentukan ruang sampel percobaan tersebut.
| |||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
), keriting ( 
), wajik ( 
) dan hati ( 
). Kartu daun dan keriting berwarna hitam, sedang wajik dan hati berwarna merah. Setiap kelompok bentuk tadi masing-masing terdiri dari King, Ratu, Joker, As, angka 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 dan 10. Jika seperangkat kartu itu dikocok dan diambil satu kartu secara acak, maka kejadian yang mungkin ada sebanyak 52 kemungkinan. 
, yang berarti
Teori Himpunan
Teori Himpunan adalah teori mengenai kumpulan objek-objek abstrak. Teori himpunan biasanya dipelajari sebagai salah satu bentuk:
Ada empat cara untuk menyatakan suatu himpunan
1. Enumerasi: dengan mendaftarkan semua anggotanya (roster) yang diletakkan didalam sepasang tanda kurung kurawal, dan diantara setiap anggotanya dipisahkan dengan tanda koma. Contoh:
A = {a, i, u, e, o
}
2. Simbol baku: dengan menggunakan simbol tertentu yang telah disepakati. Contoh:
P adalah himpunan bilangan bulat positif Z adalah himpunan bilangan bulat R adalah himpunan bilangan riil C adalah himpunan bilangan komplek
3. Notasi pembentuk himpunan: dengan menuliskan ciri-ciri umum atau sifat-sifat umum (role) dari anggota. Contoh :
A = {x|x adalah himpunan bilangan bulat}
4. Diagram Venn: menyajikan himpunan secara grafis dengan tiap-tiap himpunan digambarkan sebagai lingkaran dan memiliki himpunan semesta (U) yg digambarkan dng segi empat.
- Teori himpunan naif, dan
- Teori himpunan aksiomatik, yang mendasarkan teori himpunan pada istilah-istilah dan relasi yang tak terdefinisikan, serta aksioma-aksioma yang nantinya akan membangun keseluruhan teori himpunan.
Himpunan
Himpunan adalah kumpulan dari objek-objek tertentu yang tercakup dalam satu kesatuan dengan keterangannya yang jelas. Untuk menyatakan suatu himpunan, digunakan huruf kapital seperti A, B, C dsb. Sedangkan untuk menyatakan anggota-anggotanya digunakan huruf kecil seperti a, b, c, dsb.Ada empat cara untuk menyatakan suatu himpunan
1. Enumerasi: dengan mendaftarkan semua anggotanya (roster) yang diletakkan didalam sepasang tanda kurung kurawal, dan diantara setiap anggotanya dipisahkan dengan tanda koma. Contoh:
A = {a, i, u, e, o
}
2. Simbol baku: dengan menggunakan simbol tertentu yang telah disepakati. Contoh:
P adalah himpunan bilangan bulat positif Z adalah himpunan bilangan bulat R adalah himpunan bilangan riil C adalah himpunan bilangan komplek
3. Notasi pembentuk himpunan: dengan menuliskan ciri-ciri umum atau sifat-sifat umum (role) dari anggota. Contoh :
A = {x|x adalah himpunan bilangan bulat}
4. Diagram Venn: menyajikan himpunan secara grafis dengan tiap-tiap himpunan digambarkan sebagai lingkaran dan memiliki himpunan semesta (U) yg digambarkan dng segi empat.
Minggu, 21 November 2010
LOGIKA MATEMATIKA
A. Latar Belakang
Secara etimologis, logika berasal dari kata Yunani 'logos' yang berarti kata, ucapan, pikiran secara utuh, atau bisa juga berarti ilmu pengetahuan (Kusumah, 1986). Dalam arti luas, logika adalah suatu cabang ilmu yang mengkaji penurunan-penurunan kesimpulan yang sahih (valid, correct) dan yang tidak sahih (tidak valid, incorrect). Proses berpikir yang terjadi di saat menurunkan atau menarik kesimpulan dari pernyataan-pernyataan yang diketahui benar atau dianggap benar itu biasanya disebut dengan penalaran (reasoning). Logika, penalaran, dan argumentasi sangat sering digunakan di dalam kehidupan nyata sehari-hari, di dalam mata pelajaran matematika sendiri maupun mata pelajaran lainnya. Karenanya, Logika Matematika ini sangat berguna bagi siswa, karena di samping dapat meningkatkan daya nalar, namun dapat langsung diaplikasikan di dalam kehidupan nyata mereka sehari-hari maupun ketika mempelajari mata pelajaran lainnya. Tujuan pembelajaran Logika Matematika pada dasarnya adalah agar para siswa dapat menggunakan aturan-aturan dasar Logika Matematika untuk penarikan kesimpulan. Salah satu Standar Kompetensi Lulusan (SKL) untuk siswa Kelompok Sosial, Administrasi Perkantoran dan Akuntasi serta siswa Kelompok Teknologi, Kesehatan, dan Pertanian adalah: “Siswa memahami logika matematik dalam pernyataan majemuk dan pernyataan berkuantor serta penerapannya dalam pemecahan masalah.
Pernyataan Tunggal dan Majemuk serta Negasinya
Kebenaran suatu teori yang dikemukakan setiap ilmuwan, matematikawan, maupun para ahli merupakan hal yang akan sangat menentukan reputasi mereka. Untuk mendapatkan hal tersebut, mereka harus menyusun pernyataan yang bernilai benar. Di samping itu, mereka sering dituntut untuk menegasikan suatu pernyataan ataupun menggabungkan dua pernyataan atau lebih dengan menggunakan perakit. Bagian ini akan membahas tentang pernyataan, beserta perakitperakit: negasi, konjungsi, disjungsi, implikasi, dan biimplikasi beserta nilai kebenarannya, dan diakhiri dengan membahas negasi kalimat majemuk.
A. Pernyataan dan Nilai Kebenarannya
Dimulai sejak masih kecil, setiap manusia, sedikit demi sedikit akan melengkapi perbendaharaan kata-katanya. Contohnya, ketika seseorang menyatakan kata ‘meja’, apa yang terbayang di dalam pikiran Anda? Apa yang terjadi jika yang dibayangkan justeru ‘kursi’? Di saat berkomunikasi, seseorang harus menyusun kata-kata yang dimilikinya menjadi suatu kalimat. Perhatikan beberapa kalimat berikut:
1. 5 habis dibagi 2.
2. Agus habis dibagi 3.
3. Presiden RI pertama adalah Soekarno
4. 1 adalah presiden pertama bilangan asli
Hal menarik apa saja yang dapat Anda nyatakan dari kalimat di atas? Pada dasarnya, di saat berkomunikasi, seseorang harus menyusun kata-kata yang dimilikinya menjadi suatu kalimat. Dari tiga contoh kalimat di atas, manakah kalimat yang memiliki arti dan manakah kalimat yang tidak memiliki arti? Kalimat adalah susunan kata-kata yang memiliki arti. Perhatikan sekarang beberapa kalimat yang memiliki arti atau bermakna berikut:
Apakah pintu itu tertutup?
2. Tutup pintu itu!
3. Pintu itu tertutup
4. Tolong pintunya ditutup
Dari keempat kalimat di atas, manakah yang merupakan pertanyaan, perintah, permintaan ataupun pernyataan. Karena setiap ilmuwan, matematikawan, ataupun ahli-ahli lainnya akan berusaha untuk menghasilkan suatu pernyataan atau teori yang benar, maka suatu pernyataan 4 (termasuk teori) tidak akan ada artinya jika tidak bernilai benar. Karenanya, dari empat macam kalimat tersebut di atas, hanya pernyataan saja yang menjadi pembicaraan awal pada logika matematika ini. Suatu pernyataan dapat memiliki nilai benar saja atau salah saja, tetapi tidak sekaligus benar atau salah. Pernyataan ini sering juga disebut dengan kalimat deklaratif. Untuk lebih menjelaskan tentang kriteria kebenaran ini perhatikan dua kalimat berikut:
1. Semua manusia akan mati.
2. Jumlah besar sudut-sudut suatu segitiga adalah 180°.
Pernyataan: “Semua manusia akan mati,” merupakan suatu pernyataan yang bernilai benar karena pada kenyataannya setiap mahluk hidup yang namanya manusia tidak ada satupun yang kekal dan abadi. Pernyataan seperti itu disebut juga dengan pernyataan faktual. Teori-teori Ilmu Pengetahuan Alam banyak didasarkan pada teori korespondensi ini. Karena itu, teori-teori atau pernyataan-pernyataan Ilmu Pengetahuan Alam akan dinilai benar jika pernyataan itu melaporkan, mendeskripsikan, ataupun menyimpulkan kenyataan atau fakta yang sebenarnya. Berbeda dengan IPA, Matematika tidak hanya mendasarkan pada kenyataan atau fakta sematamata namun mendasarkan pada rasio dan aksioma. Pernyataan: “Jumlah besar sudut-sudut suatu segitiga adalah 180°,” diberi nilai benar karena pernyataan itu konsisten atau koheren ataupun tidak bertentangan dengan aksioma yang sudah disepakati kebenarannya dan konsisten juga dengan dalil atau teorema sebelumnya yang sudah terbukti. Rumus yang mendukungnya berbunyi: “Jika dua garis sejajar dipotong garis lain, maka sudut-sudut dalam berseberangannya adalah sama”. Sebagai kesimpulan, suatu kalimat disebut bernilai benar jika hal-hal yang terkandung di dalam pernyataan tersebut sesuai atau cocok dengan keadaan yang sesungguhnya (teori korespondensi) atau konsisten dengan pernyataan-pernyataan sebelumnya (teori konsistensi). Pernyataan pertama sering juga disebut pernyataan faktual. Bagian berikut ini akan menjelaskan tentang perakit atau perangkai yang sering juga disebut dengan operasi.
B. Negasi Suatu Pernyataan
Jika p adalah: "Surabaya merupakan ibukota Provinsi Jawa Timur," maka negasi atau ingkaran dari pernyataan p tersebut adalah ~p yaitu: "Surabaya bukan ibukota Provinsi JawaTimur," atau "Tidak benar bahwa Surabaya ibukota Provinsi Jawa Timur." Dari contoh inijelaslah bahwa jika p merupakan pernyataan yang bernilai benar, maka ~p akan bernilai salah. Begitu juga sebaliknya, jika p bernilai salah maka ~p akan bernilai benar. Secara umum dapat dinyatakan bahwa negasi suatu pernyataan adalah pernyataan lain yang benilai salah jika pernyataan awalnya benar dan akan bernilai benar jika pernyataan awalnya bernilai salah, seperti ditunjukkan tabel di bawah ini.
p
~p
B
S
S
B
C. Konjungsi
Konjungsi adalah suatu pernyataan majemuk yang menggunakan perakit "dan". Contohnya, pernyataan Adi berikut: "Fahmi makan nasi dan minum kopi." Pernyataan tersebut terbentuk oleh dua pernyataan tunggal: "Fahmi makan nasi," serta "Fahmi minum kopi." Dalam proses pembelajaran di kelas, berilah kesempatan kepada siswa untuk bertanya kepada diri mereka sendiri, dalam hal mana pernyataan Adi di atas bernilai benar dan dalam hal mana bernilai salah untuk empat kasus berikut, yaitu: Kasus pertama, Fahmi memang benar makan nasi dan ia juga minum kopi; kasus kedua, Fahmi makan nasi namun ia tidak minum kopi; kasus ketiga, Fahmi tidak makan nasi namun ia minum kopi; dan kasus keempat, Fahmi tidak makan nasi dan ia tidak minum kopi. Berdasar 4 kasus di atas, dapat disimpulkan bahwa suatu konjungsi p ∧ q akan bernilai benar hanya jika komponen-komponennya, yaitu baik p maupun q, keduanya sama-sama bernilai benar.
D. Disjungsi
Disjungsi adalah suatu pernyataan majemuk yang menggunakan perakit "atau". Contohnya, pernyataan Adi berikut: "Fahmi makan nasi atau minum kopi." Seperti ketika dalam proses pembelajaran konjungsi, berilah kesempatan kepada siswa untuk bertanya kepada diri mereka sendiri, dalam hal mana pernyataan Adi di atas bernilai benar dan dalam hal mana bernilai salah untuk empat kasus yang sama. Berdasar 4 kasus di atas, dapat disimpulkan bahwa suatu disjungsi p ∨ q akan bernilai salah hanya jika komponen 6 komponennya, yaitu baik p maupun q, keduanya sama-sama bernilai salah.
E. Implikasi
Misalkan ada dua pernyataan p dan q. Yang sering menjadi perhatian para ilmuwan maupun matematikawan adalah menunjukkan atau membuktikan bahwa jika p bernilai benar akan mengakibatkan q bernilai benar juga. Untuk mencapai keinginannya tersebut, diletakkanlah kata "Jika" sebelum pernyataan pertama lalu diletakkan juga kata "maka" di antara pernyataan pertama dan pernyataan kedua, sehingga didapatkan suatu pernyataan majemuk yang disebut dengan implikasi, pernyataan bersyarat, kondisional, atau “hypothetical” dengan notasi " ⇒ " seperti ini: p ⇒ q. Notasi di atas dapat dibaca dengan: (1) Jika p maka q; (2) q jika p; (3) p adalah syarat cukup untuk q; atau (4) q adalah syarat perlu untuk p. Pada proses pembelajaran di kelas, sebagai salah satu alternatif dapat digunakan pernyataan majemuk berikut ini sebagai contoh: Jika hari hujan maka saya (Adi) membawa payung. Dalam hal ini dimisalkan:
p: Hari hujan.
q: Adi membawa payung.
Berilah kesempatan para siswa untuk berpikir, dalam hal manakah pernyataan majemuk Adi tadi akan bernilai benar atau salah untuk empat kasus seperti biasa. Dari contoh di atas beserta empat kasus yang ada dapatlah disimpulkan bahwa implikasi p ⇒ q hanya akan bernilai salah untuk kasus kedua di mana p bernilai benar namun q-nya bernilai salah.
F. Biimplikasi
Biimplikasi atau bikondisional adalah pernyataan majemuk dari dua pernyataan p dan q yang dinotasikan dengan p ⇔ q yang bernilai sama dengan (p ⇒ q) ∧ (q ⇒ p) sehingga dapat dibaca: "p jika dan hanya jika q" atau "p bila dan hanya bila q." Dengan demikian jelaslah bahwa biimplikasi dua pernyataan p dan q hanya akan bernilai benar jika kedua pernyataan tunggalnya bernilai sama, yaitu keduanya bernilai salah atau keduanya bernilai benar. Beberapa contoh biimplikasi yang bernilai benar adalah:
1. Suatu segitiga adalah segitiga siku-siku jika dan hanya jika luas persegi pada hipotenusanya sama dengan jumlah luas dari persegi-persegi pada kedua sisi yang lain.
2. Suatu segitiga adalah segitiga sama sisi bila dan hanya bila ketiga sisinya sama.
G. Ingkaran Atau Negasi Pernyataan Majemuk
Berikut ini adalah pembahasan tentang negasi pernyataan majemuk, yaitu negasi suatu konjungsi, disjungsi, implikasi, dan biimplikasi
1. Negasi Suatu Konjungsi
Karena suatu konjungsi p ∧ q akan bernilai benar hanya jika kedua komponennya bernilai benar. Maka negasi suatu konjungsi p ∧ q adalah ~p ∨ ~q
2. Negasi Suatu Disjungsi
Negasi suatu disjungsi p ∨ q adalah ~p ∧ ~q
3. Negasi Suatu Implikasi
Negasi suatu implikasi p ⇒ q adalah p∧~q
4. Negasi Suatu Biimplikasi
Karena biimplikasi atau bikondisional p ⇔ q ekuivalen dengan (p ⇒ q) ∧ (q ⇒ p); sehingga:
~ (p ⇔ q) ≡ ~[(p ⇒ q) ∧ (q ⇒ p)]
≡ ~[(~p ∨ q) ∧ (~q ∨ p)]
≡ ~(~p ∨ q) ∨ ~(~q ∨ p)]
≡ (p ∧ ~q) ∨ (q ∧ ~p)
Latihan 2.1
1. Tentukan kalimat yang tidak memiliki arti, yang bukan pernyataan, dan yang merupakan
pernyataan.
a. Ambilkan Bapak kertas.
b. Tolong tentukan hasil dari 1234 × 4589
c. 3 mencintai Siti.
d. Tadi pagi Fikri bertanya: “Kapan ulangan diadakan?”
e. 2 + 3 = 27
2. Tentukan nilai kebenaran dari pernyataan berikut!
a. Logam jika dipanasi memuai.
b. Presiden RI pertama adalah Soeharto.
c. Penduduk Indonesia adalah 210.000
3. Tentukan negasi dan nilai kebenaran dari pernyataan di atas.
4. Tentukan nilai kebenaran dari pernyataan berikut!
a. Jika suatu bilangan habis dibagi 9, maka bilangan itu habis dibagi 3
b. Jika suatu bilangan habis dibagi 3, maka bilangan itu habis dibagi 9
c. Jika salah satu sudut suatu segitiga adalah sudut siku-siku, maka segitiga itu adalah
segitiga siku-siku.
d. Jika suatu segitiga adalah segitga siku-siku. maka salah satu sudut segitiga itu adalah
siku-siku
e. Jika x2 = 4 maka x = 2.
f. Jika x = − 2 maka x2 = 4.
g. Jika 3x + 4 = 2 maka x = − 1.
Konvers, Invers, dan Kontraposisi Suatu Implikasi
A. Pengertian dan Contohnya
Perhatikan pernyataan ini: Jika suatu bendera adalah bendera RI maka ada warna merah pada bendera itu. Bentuk umum suatu implikasi adalah:
p ⇒ q
Pada contoh di atas:
p : Bendera RI
q : Bendera yang ada warna merahnya
Dari implikasi p ⇒ q di atas, dapat dibentuk tiga implikasi lain dengan menggunakan p dan q sebagai dasar:
Konversnya, yaitu q ⇒ p Inversnya, yaitu ~p ⇒ ~q Kontraposisinya, yaitu ~q ⇒ ~p Dengan demikian; konvers, invers, dan kontraposisi dari implikasi “Jika suatu bendera adalah bendera RI maka ada warna merah pada bendera tersebut.” berturut-turut adalah:
1. Jika suatu bendera ada warna merahnya maka bendera tersebut adalah bendera RI (q ⇒ p) atau konvers dari implikasi p ⇒ q.
2. Jika suatu bendera bukan bendera RI maka pada bendera tersebut tidak ada warna
merahnya (~p ⇒ ~q) atau invers dari implikasi p ⇒ q.
3. Jika suatu bendera tidak ada warna merahnya, maka bendera tersebut bukan bendera RI
(~q ⇒ ~p) atau kontraposisi dari implikasi p ⇒ q.
Berdasar penjelasan di atas, jawablah pertanyaan berikut:
1. Tentukan nilai kebenaran dari implikasi, konvers, invers, dan kontraposisinya.
2. Hal menarik apa saja yang Anda dapatkan dari kegiatan c di atas?
Berhentilah membaca naskah ini, cobalah untuk menjawab pertanyaan di atas. Jawaban pertanyaan di atas adalah sebagai berikut:
Nilai kebenaran dari implikasi, konvers, invers, dan kontraposisinya.
a. Untuk menentukan nilai kebenaran dari implikasi “Jika suatu bendera adalah bendera RI maka ada warna merah pada bendera tersebut”; maka yang perlu diperhatikan adalah antesedennya, yaitu: “Suatu bendera adalah bendera RI.” Serta kosekuennya yaitu tentang ada tidaknya warna merah pada bendera tersebut. Implikasi di atas bernilai sama dengan pernyataan berkuantor: “Semua/setiap bendera RI mesti ada warna merahnya.” Karena semua/setiap bendera RI akan selalu ada warna merahnya, maka implikasi di atas bernilai benar
b. Nilai kebenaran konversnya, dalam bentuk q ⇒ p, yaitu: “Jika suatu bendera ada warna merahnya maka bendera tersebut adalah bendera RI,” yang ekuivalen dengan pernyataan: “Setiap bendera yang ada warna merahnya adalah bendera RI.” Pernyataan terakhir ini bernilai salah karena dapat ditunjukkan beberapa bendera yang ada warna merahnya, yaitu bendera Jepang ataupun Polandia yang memenuhi persyaratan pada antesedennya, dimana bendera tersebut memiliki warna merah
namun persyaratan pada konsekuennya tidak dipenuhi, yaitu bendera tersebut bukan bendera RI.
c. Nilai kebenaran inversnya, dalam bentuk ~p ⇒ ~q, yaitu: “Jika suatu bendera bukan bendera RI maka bendera tersebut tidak ada warna merahnya.” Sekali lagi, pernyataan di atas adalah ekuivalen dengan pernyataan: “Setiap bendera yang bukan bendera RI tidak ada warna merahnya.” Pernyataan ini jelas bernilai salah karena dapat ditunjukkan adanya bendera yang bukan bendera RI namun bendera tersebut ada warna merahnya, yaitu bendera Jepang ataupun Polandia.
d. Nilai kebenaran kontraposisinya, dalam bentuk ~q ⇒ ~p, yaitu: “Jika suatu bendera tidak ada warna merahnya, maka bendera tersebut bukan bendera RI.” Pernyataan di atas adalah ekuivalen dengan pernyataan: “Setiap bendera yang tidak ada warna merahnya adalah bukan bendera RI.” Pernyataan seperti ini jelas bernilai benar.
B. Ingkaran Implikasi, Konvers, Invers, dan Kontraposisinya.
Contoh soalnya adalah:
1. Tentukan ingkaran atau negasi dari implikasi: “Jika suatu bendera adalah bendera RI maka bendera tersebut berwarna merah dan putih.”
2. Tentukan juga ingkaran dari konvers, invers, dan kontraposisi implikasi di atas. Untuk menjawab pertanyaan tadi dan untuk menentukan negasi atau ingkaran konvers, invers, dan kontraposisi maka pengetahuan tentang negasi yang sudah dibahas di bagian depan sangat penting dan menentukan, terutama pengetahuan untuk menentukan negasi atau ingkaran soal nomor 1 s.d. 3 di bawah ini.
1. p ∧ q
2. p ∨ q
3. p ⇒ q
4. q ⇒ p
5. ~p ⇒ ~q
6. ~q ⇒ ~p
Sebagai pengecek, bandingkan hasil yang Anda dapatkan dengan jawaban di bawah ini.
1. ~p ∨ ~q
2. ~p ∧ ~q
3. p ∧ ~q
4. q ∧ ~p
5. ~p ∧ q
6. ~q ∧ p
1. Dengan demikian, ingkaran atau negasi dari implikasi “Jika suatu bendera adalah bendera RI maka bendera tersebut berwarna merah dan putih.” adalah: Ada atau terdapat bendera RI namun bendera tersebut tidak berwarna merah dan putih
2. Negasi atau ingkaran dari konvers, invers, dan kontraposisi suatu implikasi tadi berturut-turut adalah:
a. Negasi konvers: Ada bendera berwarna merah dan putih namun bendera tersebut bukan bendera RI.
b. Negasi invers: Ada bendera yang bukan bendera RI namun bendera tersebut berwarna merah dan putih
c. Negasi kontraposisi: Ada bendera yang tidak berwarna merah dan putih namun bendera tersebut bendera RI
Latihan 3.1
1. Tentukan konvers, invers, dan kontraposisi dari implikasi berikut beserta nilainya.
a. Jika Jakarta ibukota NTT maka 2 + 3 = 6.
b. Jika Jakarta ibukota NTT maka 2 + 3 = 5.
c. Jika Jakarta bukan ibukota NTT maka 2 + 3 = 6
d. Jika Jakarta bukan ibukota NTT maka 2 + 3 = 5
e. Jika suatu bendera adalah bendera Jepang, maka ada bintang pada bendera tersebut.
f. a > 0 ⇒ a3 > 0
2. Apa yang anda dapatkan dari hasil jawaban soal-soal itu?
3. Buatlah ingkaran dari implikasi, beserta konvers, invers, dan kontraposisi dari pernyataan berikut ini.
a. Jika Jakarta ibukota NTT maka 2 + 3 = 6.
b. Jika Jakarta ibukota NTT maka 2 + 3 = 5.
c. Jika Jakarta bukan ibukota NTT maka 2 + 3 = 6
d. Jika Jakarta bukan ibukota NTT maka 2 + 3 = 5
e. Jika suatu bendera adalah bendera Jepang, maka ada bintang pada bendera tersebut.
f. Jika dua persegipanjang kongruen maka luasnya sama.
g. Jika segitiga ABC adalah segitiga samasisi maka sisi-sisi segitiga tersebut sama panjang.
4. Apa yang anda dapatkan dari hasil jawaban soal 3 itu?
SUMBER; Diklat Guru Pengembangan Matematika SMK Jenjang dasar tahun 2009
Secara etimologis, logika berasal dari kata Yunani 'logos' yang berarti kata, ucapan, pikiran secara utuh, atau bisa juga berarti ilmu pengetahuan (Kusumah, 1986). Dalam arti luas, logika adalah suatu cabang ilmu yang mengkaji penurunan-penurunan kesimpulan yang sahih (valid, correct) dan yang tidak sahih (tidak valid, incorrect). Proses berpikir yang terjadi di saat menurunkan atau menarik kesimpulan dari pernyataan-pernyataan yang diketahui benar atau dianggap benar itu biasanya disebut dengan penalaran (reasoning). Logika, penalaran, dan argumentasi sangat sering digunakan di dalam kehidupan nyata sehari-hari, di dalam mata pelajaran matematika sendiri maupun mata pelajaran lainnya. Karenanya, Logika Matematika ini sangat berguna bagi siswa, karena di samping dapat meningkatkan daya nalar, namun dapat langsung diaplikasikan di dalam kehidupan nyata mereka sehari-hari maupun ketika mempelajari mata pelajaran lainnya. Tujuan pembelajaran Logika Matematika pada dasarnya adalah agar para siswa dapat menggunakan aturan-aturan dasar Logika Matematika untuk penarikan kesimpulan. Salah satu Standar Kompetensi Lulusan (SKL) untuk siswa Kelompok Sosial, Administrasi Perkantoran dan Akuntasi serta siswa Kelompok Teknologi, Kesehatan, dan Pertanian adalah: “Siswa memahami logika matematik dalam pernyataan majemuk dan pernyataan berkuantor serta penerapannya dalam pemecahan masalah.
Pernyataan Tunggal dan Majemuk serta Negasinya
Kebenaran suatu teori yang dikemukakan setiap ilmuwan, matematikawan, maupun para ahli merupakan hal yang akan sangat menentukan reputasi mereka. Untuk mendapatkan hal tersebut, mereka harus menyusun pernyataan yang bernilai benar. Di samping itu, mereka sering dituntut untuk menegasikan suatu pernyataan ataupun menggabungkan dua pernyataan atau lebih dengan menggunakan perakit. Bagian ini akan membahas tentang pernyataan, beserta perakitperakit: negasi, konjungsi, disjungsi, implikasi, dan biimplikasi beserta nilai kebenarannya, dan diakhiri dengan membahas negasi kalimat majemuk.
A. Pernyataan dan Nilai Kebenarannya
Dimulai sejak masih kecil, setiap manusia, sedikit demi sedikit akan melengkapi perbendaharaan kata-katanya. Contohnya, ketika seseorang menyatakan kata ‘meja’, apa yang terbayang di dalam pikiran Anda? Apa yang terjadi jika yang dibayangkan justeru ‘kursi’? Di saat berkomunikasi, seseorang harus menyusun kata-kata yang dimilikinya menjadi suatu kalimat. Perhatikan beberapa kalimat berikut:
1. 5 habis dibagi 2.
2. Agus habis dibagi 3.
3. Presiden RI pertama adalah Soekarno
4. 1 adalah presiden pertama bilangan asli
Hal menarik apa saja yang dapat Anda nyatakan dari kalimat di atas? Pada dasarnya, di saat berkomunikasi, seseorang harus menyusun kata-kata yang dimilikinya menjadi suatu kalimat. Dari tiga contoh kalimat di atas, manakah kalimat yang memiliki arti dan manakah kalimat yang tidak memiliki arti? Kalimat adalah susunan kata-kata yang memiliki arti. Perhatikan sekarang beberapa kalimat yang memiliki arti atau bermakna berikut:
Apakah pintu itu tertutup?
2. Tutup pintu itu!
3. Pintu itu tertutup
4. Tolong pintunya ditutup
Dari keempat kalimat di atas, manakah yang merupakan pertanyaan, perintah, permintaan ataupun pernyataan. Karena setiap ilmuwan, matematikawan, ataupun ahli-ahli lainnya akan berusaha untuk menghasilkan suatu pernyataan atau teori yang benar, maka suatu pernyataan 4 (termasuk teori) tidak akan ada artinya jika tidak bernilai benar. Karenanya, dari empat macam kalimat tersebut di atas, hanya pernyataan saja yang menjadi pembicaraan awal pada logika matematika ini. Suatu pernyataan dapat memiliki nilai benar saja atau salah saja, tetapi tidak sekaligus benar atau salah. Pernyataan ini sering juga disebut dengan kalimat deklaratif. Untuk lebih menjelaskan tentang kriteria kebenaran ini perhatikan dua kalimat berikut:
1. Semua manusia akan mati.
2. Jumlah besar sudut-sudut suatu segitiga adalah 180°.
Pernyataan: “Semua manusia akan mati,” merupakan suatu pernyataan yang bernilai benar karena pada kenyataannya setiap mahluk hidup yang namanya manusia tidak ada satupun yang kekal dan abadi. Pernyataan seperti itu disebut juga dengan pernyataan faktual. Teori-teori Ilmu Pengetahuan Alam banyak didasarkan pada teori korespondensi ini. Karena itu, teori-teori atau pernyataan-pernyataan Ilmu Pengetahuan Alam akan dinilai benar jika pernyataan itu melaporkan, mendeskripsikan, ataupun menyimpulkan kenyataan atau fakta yang sebenarnya. Berbeda dengan IPA, Matematika tidak hanya mendasarkan pada kenyataan atau fakta sematamata namun mendasarkan pada rasio dan aksioma. Pernyataan: “Jumlah besar sudut-sudut suatu segitiga adalah 180°,” diberi nilai benar karena pernyataan itu konsisten atau koheren ataupun tidak bertentangan dengan aksioma yang sudah disepakati kebenarannya dan konsisten juga dengan dalil atau teorema sebelumnya yang sudah terbukti. Rumus yang mendukungnya berbunyi: “Jika dua garis sejajar dipotong garis lain, maka sudut-sudut dalam berseberangannya adalah sama”. Sebagai kesimpulan, suatu kalimat disebut bernilai benar jika hal-hal yang terkandung di dalam pernyataan tersebut sesuai atau cocok dengan keadaan yang sesungguhnya (teori korespondensi) atau konsisten dengan pernyataan-pernyataan sebelumnya (teori konsistensi). Pernyataan pertama sering juga disebut pernyataan faktual. Bagian berikut ini akan menjelaskan tentang perakit atau perangkai yang sering juga disebut dengan operasi.
B. Negasi Suatu Pernyataan
Jika p adalah: "Surabaya merupakan ibukota Provinsi Jawa Timur," maka negasi atau ingkaran dari pernyataan p tersebut adalah ~p yaitu: "Surabaya bukan ibukota Provinsi JawaTimur," atau "Tidak benar bahwa Surabaya ibukota Provinsi Jawa Timur." Dari contoh inijelaslah bahwa jika p merupakan pernyataan yang bernilai benar, maka ~p akan bernilai salah. Begitu juga sebaliknya, jika p bernilai salah maka ~p akan bernilai benar. Secara umum dapat dinyatakan bahwa negasi suatu pernyataan adalah pernyataan lain yang benilai salah jika pernyataan awalnya benar dan akan bernilai benar jika pernyataan awalnya bernilai salah, seperti ditunjukkan tabel di bawah ini.
p
~p
B
S
S
B
C. Konjungsi
Konjungsi adalah suatu pernyataan majemuk yang menggunakan perakit "dan". Contohnya, pernyataan Adi berikut: "Fahmi makan nasi dan minum kopi." Pernyataan tersebut terbentuk oleh dua pernyataan tunggal: "Fahmi makan nasi," serta "Fahmi minum kopi." Dalam proses pembelajaran di kelas, berilah kesempatan kepada siswa untuk bertanya kepada diri mereka sendiri, dalam hal mana pernyataan Adi di atas bernilai benar dan dalam hal mana bernilai salah untuk empat kasus berikut, yaitu: Kasus pertama, Fahmi memang benar makan nasi dan ia juga minum kopi; kasus kedua, Fahmi makan nasi namun ia tidak minum kopi; kasus ketiga, Fahmi tidak makan nasi namun ia minum kopi; dan kasus keempat, Fahmi tidak makan nasi dan ia tidak minum kopi. Berdasar 4 kasus di atas, dapat disimpulkan bahwa suatu konjungsi p ∧ q akan bernilai benar hanya jika komponen-komponennya, yaitu baik p maupun q, keduanya sama-sama bernilai benar.
D. Disjungsi
Disjungsi adalah suatu pernyataan majemuk yang menggunakan perakit "atau". Contohnya, pernyataan Adi berikut: "Fahmi makan nasi atau minum kopi." Seperti ketika dalam proses pembelajaran konjungsi, berilah kesempatan kepada siswa untuk bertanya kepada diri mereka sendiri, dalam hal mana pernyataan Adi di atas bernilai benar dan dalam hal mana bernilai salah untuk empat kasus yang sama. Berdasar 4 kasus di atas, dapat disimpulkan bahwa suatu disjungsi p ∨ q akan bernilai salah hanya jika komponen 6 komponennya, yaitu baik p maupun q, keduanya sama-sama bernilai salah.
E. Implikasi
Misalkan ada dua pernyataan p dan q. Yang sering menjadi perhatian para ilmuwan maupun matematikawan adalah menunjukkan atau membuktikan bahwa jika p bernilai benar akan mengakibatkan q bernilai benar juga. Untuk mencapai keinginannya tersebut, diletakkanlah kata "Jika" sebelum pernyataan pertama lalu diletakkan juga kata "maka" di antara pernyataan pertama dan pernyataan kedua, sehingga didapatkan suatu pernyataan majemuk yang disebut dengan implikasi, pernyataan bersyarat, kondisional, atau “hypothetical” dengan notasi " ⇒ " seperti ini: p ⇒ q. Notasi di atas dapat dibaca dengan: (1) Jika p maka q; (2) q jika p; (3) p adalah syarat cukup untuk q; atau (4) q adalah syarat perlu untuk p. Pada proses pembelajaran di kelas, sebagai salah satu alternatif dapat digunakan pernyataan majemuk berikut ini sebagai contoh: Jika hari hujan maka saya (Adi) membawa payung. Dalam hal ini dimisalkan:
p: Hari hujan.
q: Adi membawa payung.
Berilah kesempatan para siswa untuk berpikir, dalam hal manakah pernyataan majemuk Adi tadi akan bernilai benar atau salah untuk empat kasus seperti biasa. Dari contoh di atas beserta empat kasus yang ada dapatlah disimpulkan bahwa implikasi p ⇒ q hanya akan bernilai salah untuk kasus kedua di mana p bernilai benar namun q-nya bernilai salah.
F. Biimplikasi
Biimplikasi atau bikondisional adalah pernyataan majemuk dari dua pernyataan p dan q yang dinotasikan dengan p ⇔ q yang bernilai sama dengan (p ⇒ q) ∧ (q ⇒ p) sehingga dapat dibaca: "p jika dan hanya jika q" atau "p bila dan hanya bila q." Dengan demikian jelaslah bahwa biimplikasi dua pernyataan p dan q hanya akan bernilai benar jika kedua pernyataan tunggalnya bernilai sama, yaitu keduanya bernilai salah atau keduanya bernilai benar. Beberapa contoh biimplikasi yang bernilai benar adalah:
1. Suatu segitiga adalah segitiga siku-siku jika dan hanya jika luas persegi pada hipotenusanya sama dengan jumlah luas dari persegi-persegi pada kedua sisi yang lain.
2. Suatu segitiga adalah segitiga sama sisi bila dan hanya bila ketiga sisinya sama.
G. Ingkaran Atau Negasi Pernyataan Majemuk
Berikut ini adalah pembahasan tentang negasi pernyataan majemuk, yaitu negasi suatu konjungsi, disjungsi, implikasi, dan biimplikasi
1. Negasi Suatu Konjungsi
Karena suatu konjungsi p ∧ q akan bernilai benar hanya jika kedua komponennya bernilai benar. Maka negasi suatu konjungsi p ∧ q adalah ~p ∨ ~q
2. Negasi Suatu Disjungsi
Negasi suatu disjungsi p ∨ q adalah ~p ∧ ~q
3. Negasi Suatu Implikasi
Negasi suatu implikasi p ⇒ q adalah p∧~q
4. Negasi Suatu Biimplikasi
Karena biimplikasi atau bikondisional p ⇔ q ekuivalen dengan (p ⇒ q) ∧ (q ⇒ p); sehingga:
~ (p ⇔ q) ≡ ~[(p ⇒ q) ∧ (q ⇒ p)]
≡ ~[(~p ∨ q) ∧ (~q ∨ p)]
≡ ~(~p ∨ q) ∨ ~(~q ∨ p)]
≡ (p ∧ ~q) ∨ (q ∧ ~p)
Latihan 2.1
1. Tentukan kalimat yang tidak memiliki arti, yang bukan pernyataan, dan yang merupakan
pernyataan.
a. Ambilkan Bapak kertas.
b. Tolong tentukan hasil dari 1234 × 4589
c. 3 mencintai Siti.
d. Tadi pagi Fikri bertanya: “Kapan ulangan diadakan?”
e. 2 + 3 = 27
2. Tentukan nilai kebenaran dari pernyataan berikut!
a. Logam jika dipanasi memuai.
b. Presiden RI pertama adalah Soeharto.
c. Penduduk Indonesia adalah 210.000
3. Tentukan negasi dan nilai kebenaran dari pernyataan di atas.
4. Tentukan nilai kebenaran dari pernyataan berikut!
a. Jika suatu bilangan habis dibagi 9, maka bilangan itu habis dibagi 3
b. Jika suatu bilangan habis dibagi 3, maka bilangan itu habis dibagi 9
c. Jika salah satu sudut suatu segitiga adalah sudut siku-siku, maka segitiga itu adalah
segitiga siku-siku.
d. Jika suatu segitiga adalah segitga siku-siku. maka salah satu sudut segitiga itu adalah
siku-siku
e. Jika x2 = 4 maka x = 2.
f. Jika x = − 2 maka x2 = 4.
g. Jika 3x + 4 = 2 maka x = − 1.
Konvers, Invers, dan Kontraposisi Suatu Implikasi
A. Pengertian dan Contohnya
Perhatikan pernyataan ini: Jika suatu bendera adalah bendera RI maka ada warna merah pada bendera itu. Bentuk umum suatu implikasi adalah:
p ⇒ q
Pada contoh di atas:
p : Bendera RI
q : Bendera yang ada warna merahnya
Dari implikasi p ⇒ q di atas, dapat dibentuk tiga implikasi lain dengan menggunakan p dan q sebagai dasar:
Konversnya, yaitu q ⇒ p Inversnya, yaitu ~p ⇒ ~q Kontraposisinya, yaitu ~q ⇒ ~p Dengan demikian; konvers, invers, dan kontraposisi dari implikasi “Jika suatu bendera adalah bendera RI maka ada warna merah pada bendera tersebut.” berturut-turut adalah:
1. Jika suatu bendera ada warna merahnya maka bendera tersebut adalah bendera RI (q ⇒ p) atau konvers dari implikasi p ⇒ q.
2. Jika suatu bendera bukan bendera RI maka pada bendera tersebut tidak ada warna
merahnya (~p ⇒ ~q) atau invers dari implikasi p ⇒ q.
3. Jika suatu bendera tidak ada warna merahnya, maka bendera tersebut bukan bendera RI
(~q ⇒ ~p) atau kontraposisi dari implikasi p ⇒ q.
Berdasar penjelasan di atas, jawablah pertanyaan berikut:
1. Tentukan nilai kebenaran dari implikasi, konvers, invers, dan kontraposisinya.
2. Hal menarik apa saja yang Anda dapatkan dari kegiatan c di atas?
Berhentilah membaca naskah ini, cobalah untuk menjawab pertanyaan di atas. Jawaban pertanyaan di atas adalah sebagai berikut:
Nilai kebenaran dari implikasi, konvers, invers, dan kontraposisinya.
a. Untuk menentukan nilai kebenaran dari implikasi “Jika suatu bendera adalah bendera RI maka ada warna merah pada bendera tersebut”; maka yang perlu diperhatikan adalah antesedennya, yaitu: “Suatu bendera adalah bendera RI.” Serta kosekuennya yaitu tentang ada tidaknya warna merah pada bendera tersebut. Implikasi di atas bernilai sama dengan pernyataan berkuantor: “Semua/setiap bendera RI mesti ada warna merahnya.” Karena semua/setiap bendera RI akan selalu ada warna merahnya, maka implikasi di atas bernilai benar
b. Nilai kebenaran konversnya, dalam bentuk q ⇒ p, yaitu: “Jika suatu bendera ada warna merahnya maka bendera tersebut adalah bendera RI,” yang ekuivalen dengan pernyataan: “Setiap bendera yang ada warna merahnya adalah bendera RI.” Pernyataan terakhir ini bernilai salah karena dapat ditunjukkan beberapa bendera yang ada warna merahnya, yaitu bendera Jepang ataupun Polandia yang memenuhi persyaratan pada antesedennya, dimana bendera tersebut memiliki warna merah
namun persyaratan pada konsekuennya tidak dipenuhi, yaitu bendera tersebut bukan bendera RI.
c. Nilai kebenaran inversnya, dalam bentuk ~p ⇒ ~q, yaitu: “Jika suatu bendera bukan bendera RI maka bendera tersebut tidak ada warna merahnya.” Sekali lagi, pernyataan di atas adalah ekuivalen dengan pernyataan: “Setiap bendera yang bukan bendera RI tidak ada warna merahnya.” Pernyataan ini jelas bernilai salah karena dapat ditunjukkan adanya bendera yang bukan bendera RI namun bendera tersebut ada warna merahnya, yaitu bendera Jepang ataupun Polandia.
d. Nilai kebenaran kontraposisinya, dalam bentuk ~q ⇒ ~p, yaitu: “Jika suatu bendera tidak ada warna merahnya, maka bendera tersebut bukan bendera RI.” Pernyataan di atas adalah ekuivalen dengan pernyataan: “Setiap bendera yang tidak ada warna merahnya adalah bukan bendera RI.” Pernyataan seperti ini jelas bernilai benar.
B. Ingkaran Implikasi, Konvers, Invers, dan Kontraposisinya.
Contoh soalnya adalah:
1. Tentukan ingkaran atau negasi dari implikasi: “Jika suatu bendera adalah bendera RI maka bendera tersebut berwarna merah dan putih.”
2. Tentukan juga ingkaran dari konvers, invers, dan kontraposisi implikasi di atas. Untuk menjawab pertanyaan tadi dan untuk menentukan negasi atau ingkaran konvers, invers, dan kontraposisi maka pengetahuan tentang negasi yang sudah dibahas di bagian depan sangat penting dan menentukan, terutama pengetahuan untuk menentukan negasi atau ingkaran soal nomor 1 s.d. 3 di bawah ini.
1. p ∧ q
2. p ∨ q
3. p ⇒ q
4. q ⇒ p
5. ~p ⇒ ~q
6. ~q ⇒ ~p
Sebagai pengecek, bandingkan hasil yang Anda dapatkan dengan jawaban di bawah ini.
1. ~p ∨ ~q
2. ~p ∧ ~q
3. p ∧ ~q
4. q ∧ ~p
5. ~p ∧ q
6. ~q ∧ p
1. Dengan demikian, ingkaran atau negasi dari implikasi “Jika suatu bendera adalah bendera RI maka bendera tersebut berwarna merah dan putih.” adalah: Ada atau terdapat bendera RI namun bendera tersebut tidak berwarna merah dan putih
2. Negasi atau ingkaran dari konvers, invers, dan kontraposisi suatu implikasi tadi berturut-turut adalah:
a. Negasi konvers: Ada bendera berwarna merah dan putih namun bendera tersebut bukan bendera RI.
b. Negasi invers: Ada bendera yang bukan bendera RI namun bendera tersebut berwarna merah dan putih
c. Negasi kontraposisi: Ada bendera yang tidak berwarna merah dan putih namun bendera tersebut bendera RI
Latihan 3.1
1. Tentukan konvers, invers, dan kontraposisi dari implikasi berikut beserta nilainya.
a. Jika Jakarta ibukota NTT maka 2 + 3 = 6.
b. Jika Jakarta ibukota NTT maka 2 + 3 = 5.
c. Jika Jakarta bukan ibukota NTT maka 2 + 3 = 6
d. Jika Jakarta bukan ibukota NTT maka 2 + 3 = 5
e. Jika suatu bendera adalah bendera Jepang, maka ada bintang pada bendera tersebut.
f. a > 0 ⇒ a3 > 0
2. Apa yang anda dapatkan dari hasil jawaban soal-soal itu?
3. Buatlah ingkaran dari implikasi, beserta konvers, invers, dan kontraposisi dari pernyataan berikut ini.
a. Jika Jakarta ibukota NTT maka 2 + 3 = 6.
b. Jika Jakarta ibukota NTT maka 2 + 3 = 5.
c. Jika Jakarta bukan ibukota NTT maka 2 + 3 = 6
d. Jika Jakarta bukan ibukota NTT maka 2 + 3 = 5
e. Jika suatu bendera adalah bendera Jepang, maka ada bintang pada bendera tersebut.
f. Jika dua persegipanjang kongruen maka luasnya sama.
g. Jika segitiga ABC adalah segitiga samasisi maka sisi-sisi segitiga tersebut sama panjang.
4. Apa yang anda dapatkan dari hasil jawaban soal 3 itu?
SUMBER; Diklat Guru Pengembangan Matematika SMK Jenjang dasar tahun 2009
Jumat, 19 November 2010
ANALISIS VARIANS
A. Pengertian
Sering kali kita menghadapi lebih dari satu rata-rata, dan jika kita ingin melakukan pengujian perbedaan rata-rata tersebut satu persatu yaitu dengan menggunakan t tes akan memakan waktu, tenaga yang banyak, dan menghadapi resiko kesalahan yang besar. Cara analisis yang mengandung kesalahan lebih kecil dan dapat menghemat waktu serta tenaga adalah menggunakan analisis varians (ANAVA).
Pada saat melakukan pengujian hipotesis perbedaan dua rata-rata dengan menggunakan t tes selalu menanggung kesalahan tipe 1 (menolak Ho yang benar) sebesar α. Untuk ANAVA kesalahan tipe 1 disebut dengan experiment wise alpha level yang besarnya:
1 – (1- α)N
N merupakan banyaknya tes jika menggunakan t tes (dilakukan satu persatu).
Misalnya untuk pengujian perbedaan rata-rata dari 5 kelompok sampel. Jika diambil α = 0,05, maka dengan pengujian t tes besar resiko kesalahan tipe 1 untuk sekali pengujian adalah 0,05, dan untuk 10 kali pengujian berarti menanggung kesalahan tipe 1 sebesar 0,50. Jika kita menggunakan ANAVA kesalahan tipe 1 yang harus ditanggung adalah 1 – (1- 0,05)10 = 0,40.
Pertanyaannya, mengapa N berjumlah 10 untuk 5 kelompok sampel? Perhatikan jika kita mengunakan t tes, maka perbedaan yang diuji adalah:
μ1 = μ2 μ2 = μ4
μ1 = μ3 μ2 = μ5
μ1 = μ4 μ3 = μ4
μ1 = μ5 μ3 = μ5
μ2 = μ3 μ4 = μ5
Dengan menggunakan gabungan alpha (karena pengujian bersama) maka resiko kesalahan tipe 1 semakin kecil. Ini berarti bahwa pengujan bersama lebih baik daripada pengujian satu persatu karena semakin kecil kesalahan yang ditanggung dalam pengambilan keputusan maka keputusan yang diambil itu semakin baik.
Hipotesis dalam ANAVA membandingkan rata-rata dari beberapa populasi yang diwakili oleh beberapa kelompok sampel secara bersama, sehingga hipotesis matematika untuk 5 kelompok adalah:
Ho : μ1 = μ2 = μ3 = μ4 = μ5
Ha : Salah satu dari μ tidak sama
Secara umum, jika kita mempunyai k populasi (k > 2) yang masing-masing berdistribusi independen dan normal dengan rata-rata μ1, μ2, μ3, . . . , μk dan simpangan baku berturut-turut σ1, σ2, σ3, . . . , σk maka hipotesisnya:
Ho : μ1 = μ2 = μ3 = . . . = μk
Ha : Salah satu dari μ tidak sama
Selain daripada asumsi kenormalan tentang populasi, untuk pengujian ini juga akan dimisalkan bahwa populasi bersifat homogen ialah bahwa σ21 = σ22 = σ23 = . . . = σ2k.
Jadi ANAVA merupakan analisis statistik yang dapat memberikan informasi tentang perbedaan antar kelompok satu dengan kelompok lain dalam satu populasi maupun antar populasi, dengan kesalahan yang lebih kecil dan lebih efisien daripada pengujian perbedaan dengan t tes.
Beberapa kemungkinan yang mempengaruhi terjadinya perbedaan yang perlu diperhatikan oleh peneliti yang menggunakan ANAVA adalah:
· Pengaruh waktu (treatment effect)
· Pengaruh perbedaan individu (individual defferences)
· Pengaruh pengukuran, misalnya karena lemahnya alat ukur, tidak adanya keseriusan subjek penelitian dalam menjawab pertanyaan, atau kesalahan dalam melakukan prediksi.
Sumber idespha.com
Langganan:
Postingan (Atom)